Réciproque d'une implication, contraposée d'une implication

Définition

Soit `P` et `Q` deux propositions.
La proposition réciproque de l'implication \(P\Rightarrow Q\) est l'implication `Q\Rightarrow P`.

Exemples

• La proposition : « Si un élève est admis au baccalauréat, alors sa note au baccalauréat est au moins 10 » a pour proposition réciproque : « Si un élève a une note d'au moins 10 au baccalauréat, alors il est admis au baccalauréat. » La proposition directe ainsi que sa réciproque sont vraies. La proposition est donc une équivalence.
  
• La proposition « Si \(\text{ABCD}\) est un carré, alors \(\text{ABCD}\) est un rectangle » a pour proposition réciproque : « Si \(\text{ABCD}\) est un rectangle, alors \(\text{ABCD}\) est un carré. » On remarque, dans ce cas, que la proposition directe est vraie mais la réciproque est fausse.
  

Définition

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions.
La proposition contraposée de l'implication \(P\Rightarrow Q\) est l'implication \(\text{(non } Q) \Rightarrow \text{(non } P)\).

Exemple

• Prenons la proposition « Si une entreprise maximise ses profits, alors elle a une bonne gestion des coûts ». Il faut d'après la définition chercher les négations de \(Q\) et de \(P\) :
  \(\text{(non } Q)\) : « Une entreprise n’a pas une bonne gestion des coûts » ;
  \(\text{(non } P)\) : « L'entreprise ne maximise pas ses profits ».
  Ainsi, la contraposée est donc : « Si une entreprise n’a pas une bonne gestion des coûts, alors elle ne maximise pas ses profits. »
  
• Soit `n` un entier naturel. La proposition « Si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair » a pour proposition contraposée : « Si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair. »